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[QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques 
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Pen Spinner
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Message Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques
τ a écrit:
Almad28 a écrit:
Peut-on m'expliquer ce qu'est une différentielle ? C'est une dérivée ? Une infime variation ?


Une dérivée est, en gros, une différentielle à l'échelle macroscopique. C'est pourquoi on appelle également une différentielle une dérivée partielle. Dans le cas d'une infime variation, c'est-à-dire d'un très petit changement, on utilisera plutôt les différentielles pour calculer ces variations (des vitesses le plus souvent). La dérivée permet de généraliser le tout en disant que globalement la variation est positive ou négative.


*

La différentielle et la dérivée sont une seule et même chose, on utilise juste généralement dérivée dans le cas de fonctions de R dans R (ou C). Dans les deux cas il est sujet de variations infinitésimales, la fonction dérivée (puisque c'est de ça dont tu parles TONYMONTANAED) de f est simplement la fonction qui en chaque point a pour valeur le nombre dérivé de f en ce point, mais la différentielle de f est aussi la fonction qui en chaque point a pour valeur la différentielle de f en ce point.
Pour ton délire sur les dérivées partielles, hexbinmos a raison, la différentielle et les dérivées partielles n'ont rien à voir, étant donné qu'une dérivée partielle en un point est un vecteur alors que la différentielle en un point est une matrice. Le seul cas où c'est la même chose c'est lorsque l'espace de départ est R, mais dans ce cas ça sert à rien de parler de dérivée partielle (étant donné qu'il n'y a qu'une seule variable).

Une bonne façon de voir grossièrement la différentielle est à mon avis de s'intéresser aux dérivées directionnelles. Dans le cas des fonctions de R dans R que tu connais bien Almad, R étant une droite, tu n'as que deux façons d'approcher une fonction qui se comporte bien en un point : par la gauche et par la droite, la mesure de l'accroissement infinitésimal suivant ces deux directions se nomme respectivement nombre dérivé à gauche et nombre dérivé à droite. Déjà lorsque la fonction a pour espace de départ R² (le plan), tu vois qu'il y a une infinité de façons d'approcher une fonction en un point : on peut le faire suivant n'importe quelle direction dans le plan. Une dérivée directionnelle va consister à fixer un vecteur dans le plan (représentant une direction) et à regarder les variations infinitésimal de la fonction suivant cette direction (en gros si tu regardes la fonction en trois dimensions, avec l'axe vertical représentant l'espace d'arrivée, c'est comme si tu faisais la section de ta nappe avec un plan vertical dirigé suivant le vecteur et que tu regardais la section ainsi créée comme fonction de R dans R). Lorsque la fonction se comporte à peu près bien (ce qui est le cas des fonctions polynomiales par exemple), si tu appliques le vecteur que tu as choisi à la différentielle (car il faut se rappeler que la différentielle est une matrice, tu peux donc la multiplier à droite par un vecteur) tu trouveras la valeur de la dérivée directionnelle suivant ce vecteur. La différentielle est donc en gros quelque chose qui prend en compte les dérivées directionnelles suivant tous les vecteurs possibles. De plus, les dérivées partielles sont les dérivées directionnelles où les vecteurs sont les vecteurs de base.

EDIT : j'ai oublié de préciser, car ce n'est peut-être pas forcément évident, qu'il en découle que la différentielle, lorsque la fonction se comporte bien, est la matrice constituée des dérivées partielles (en fait plus précisément la différentielle est une application linéaire, donc identifiable à une matrice, et la matrice en elle-même est appelée Jacobienne).

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Dernière édition par Jean-Bob le Dim 29 Jan 2012 00:44, édité 1 fois.



Sam 28 Jan 2012 13:36
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Message Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques
Au fait, ça m’intéresserait de savoir comment on démontre la formule :
Si f est différentiable, df = (∂f/∂x0)dx0 + (∂f/∂x1)dx1 + (∂f/∂x2)dx2 + (∂f/∂x3)dx3 + ... + (∂f/∂xn)dxn

Merci.

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Dim 29 Jan 2012 00:33
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Message Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques
La démonstration est sur la première page de ce document. Pour la définition de la différentielle et des dérivées directionnelles, voir page 9 et 11 de ce document.

EDIT : Plus précisément, les documents ci-dessus indiquent que si tu appliques un vecteur à la différentielle d'une fonction, alors c'est égale à la dérivée directionnelle, qui est décomposable dans la base (∂/∂xi). En particulier, si tu prends un vecteur de base, ça te dit qu'un vecteur de base ei appliqué à la différentielle te donnera ∂f/∂xi. L'écriture que tu utilises est un peu différente et plus complexe, elle voit la différentielle comme une 1-forme différentielle (les dxi sont aussi des 1-formes différentielles, ils forment une base des 1-formes différentielles de R^n). C'est une écriture utilisée en géométrie différentielle et en physique parce que c'est plus pratique même si on ne sait pas à quoi ça correspond.

RE-EDIT : En fait la formule que tu donnes est trivialement vraie si on voit la différentielle comme une 1-forme différentielle. En effet, dans ce cas, (dxi) en un point est la base duale de (∂/∂xi), c'est-à-dire que dxi(∂/∂xj) en ce point est égal à 1 si i = j et 0 sinon. On a donc df(∂/∂xi) = ∂f/∂xi. Tu vois pourquoi cette écriture est plus complexe : elle met en jeu des notions bien plus avancées. Un dx appliqué en un point est en fait une forme linéaire qui prend pour arguments des vecteurs qui s'écrivent dans la base des (∂/∂xi) (et encore je simplifie).

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Dim 29 Jan 2012 00:49
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Message Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques
Merci Jean-Bob, je suis entrain de lire le pdf, mais j'avoue que ça n'est pas super simple.

Au risque de passer pour un simplet, je poste quand même ma question :

Soit f une fonction d'arité 2 différentiable dérivable sur x et y et a un point d'application.
"Zoommons" jusqu'à l'infinitésimal.
Image
Pour un changement infinitésimal de x et y, on a un changement infinitésimal de f(x,y).
Sur la figure ci-dessus, on visualise bien df/dx comme coefficient directeur de la tangente à f en a sur x c1 et de même pour c2 avec df/dy.
les tangentes sont alors, dans le repère d'origine a, d’équation :
c1 : z = df/dx * x
c2 : z = df/dy * y
Par somme terme à terme, on obtient le plan tangent P : 2z= df/dx * x + df/dy * y.
Soit P : z = (df/dx * x + df/dy * y)/2

Je me pose alors la question, à quoi correspond ce que je viens de faire ? Je ne trouve pas une somme de dérivées partielles mais une moyenne.

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Dim 29 Jan 2012 12:31
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Message Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques
Je comprends pas ta question. Et puis les représentations à la physicienne comme ça où on met des notations pour que ça colle (genre on quotiente des dx) non merci. D'ailleurs c'est bien des dérivées partielles tes df/dx et df/dy.

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Dim 29 Jan 2012 17:09
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Message Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques
Désolé pour la representation graphique, j'essayais d'être mieux compris.
Bah ce que je veux dire, c'est que, si je n'ai pas fais d'erreur sur l'equatuon du plan (j'ai verifié avec un logiciel, mais on sait jamais), je ne vois pas pourquoi on ne peut pas ecrire df = ((df/dx)dx + (df/dy)dy)/2.
Je veux dire, en quoi df/dx n'est pas la derivée partielle de f par rapport à x ?
Si ça l'est alors df/dx = ∂f/∂x par definition, donc je ne pige pas pourquoi :
df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy.

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Dim 29 Jan 2012 18:02
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Message Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques
Il y a une erreur dans l'équation du plan. Déjà faut faire attention parce que tes deux équations de droite sont en fait des équations de plan (il faudrait rajouter les conditions y = 0 à la première et x = 0 à la seconde). Donc là tu sommes deux équations de plans ça n'a aucune chance de te donner le plan engendré par les droites.
Là en fait comme tes droites sont dans les plans xOz et yOz, ça te donne directement comme équation :
z = "df/dx" x + "df/dy" y (je mets les df/d... entre guillemets car pour moi ça n'a aucun sens de calculer comme ça avec des formes différentielles, ça marche uniquement car les notations ont été créées pour que ça marche).

Si tu veux prouver que c'est bien cette équation, je te conseille de passer par les vecteurs : tu prends un vecteur directeur pour chaque droite (par exemple (1, 0, "df/dx") et (0, 1, "df/dy")) et soit tu calcules un vecteur orthogonal pour avoir un vecteur normal au plan, soit tu poses un vecteur du plan comme combinaison linéaires des deux vecteurs.

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Dim 29 Jan 2012 19:35
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Message Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques
Ah d'accord, j'ai compris mon erreur, j'ai créé le plan pour lequel le df était inchangé après le double changement infinitésimal sur x et y.
Mais en fait, c'est à cause de la notation, je me suis dis "mais dx et ∂x, c'est forcement le même changement infinitésimal, parce que sinon, on ne peut pas l'appliquer" et j'en ai conclu inconsciemment que df et ∂f étaient forcement similaires, sauf que pas du tout, justement, en fait
df = (∂f/dx)*dx + (∂f/dy)*dy = 2∂f. Et ça se comprend très bien en représentant le plan passant par les deux tangentes.

Et Jean-Bob, je ne suis pas sûr qu'on ait le droit de faire ça ici, mais Lindor m'a dit que (et expliqué pourquoi) ça a un sens (dans l'analyse non standard) "df/dx".
En tout cas je me suis servi de ça intuitivement pour comprendre et ça marche bien, mon erreur ne vient pas de là.
Si je dis une bêtise, tu me dis Lindor. =)

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Dim 29 Jan 2012 21:11
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Message Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques
Ah ben peut-être que dans certaines branches ça a un sens, en tout cas moi la seule fois où j'ai eu une vraie définition de d c'est en géométrie différentielle et il était nullement question de faire le quotient df/dx.
Par contre je n'ai jamais vu de définition de ∂ tout seul et là tu l'utilises en mélangeant avec d, donc je ne sais pas du tout ce que ça veut dire, si tu pouvais m'éclairer...

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Dim 29 Jan 2012 22:35
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Message Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques
Jean-Bob a écrit:
Ah ben peut-être que dans certaines branches ça a un sens, en tout cas moi la seule fois où j'ai eu une vraie définition de d c'est en géométrie différentielle et il était nullement question de faire le quotient df/dx.
Par contre je n'ai jamais vu de définition de ∂ tout seul et là tu l'utilises en mélangeant avec d, donc je ne sais pas du tout ce que ça veut dire, si tu pouvais m'éclairer...

En fait je me suis trompé, je crois avoir compris ce que c'est que ce "d" et pourquoi on a créé le "∂".
Avant tout, je précise que ça n'est que mon intuition qui parle et que je ne m'appui que sur ce que je connais pour vérifier alors c'est à prendre comme c'est : une idée. Je constate juste que ça marche avec tout ce que je découvre et ce que je connais pour l'instant, donc qu'elle ne doit pas être si nase.

Toujours est-il que je vois le "d" comme un infinitésimal.
Donc, d'après ce que m'a dit Lindor, un infinitésimal est un nombre tel que, soit I l'ensemble des infinitésimaux :
∀ε∈I ∀a∈ℝ+* ε<a
Il y a plusieurs ordres d'infinitésimaux, les réels sont d'ordre 0, les infiniment grand d'ordre strictement négatif et les infiniment petits strictement positifs. Un infinitésimal d'ordre 2 c'est un infinitésimal d'ordre 1 au carré, d'ordre 3 c'est un d'ordre 1 au cube etc.
Ce qui colle bien avec l'exponentiation au carré du d quand on dérive par rapport à 2 variables : ∂²f/∂x∂y
On fait un produit de deux infinitésimaux d'ordre 1 donc on a un infinitésimal d'ordre 2, d'où le ∂².
Ce qui n'est pas rigoureux, c'est le "∂²f" en fait ça n'est pas le produit de ∂² par f, sinon ça se simplifierait et ça ferait f/xy et ça n'aurait aucun sens. Derrière il y aurait une fonction g(x,t)=f(x+t)-f(t) (avec t un paramètre qui correspondrait à l'abscisse du point d'application) et ça donnerait df = g(dx,t), ce qui, au final, donnerait g(dx,t)/dx.
Et une fonction qui associe à un réel un autre réel associe un infinitésimal à un infinitésimal, donc le rapport donne bien un nombre réel.
Au final, la formule Image est totalement compréhensible.
Parce que le ∂ n'est qu'un infinitésimal différent, le x appliqué est le même, d'où l'erreur de ma phrase :
hexbinmos a écrit:
"mais dx et ∂x, c'est forcement le même changement infinitésimal, parce que sinon, on ne peut pas l'appliquer"
Parce que dx et ∂x sont bel et bien des infinitésimaux différents, mais on peut l'appliquer parce que c'est le même x mis en jeux
Au final, une notation qui pourrait convenir serait, pour une fonction d'arité 1 :
Image
Avec t un paramètre qui correspondrait à l'abscisse du point d'application.
Donc, au final :
Image.
Donc pour l'arité 2, on a cette fois un point d'application de dimension 2 (t,u) donc on va créer g d'arité 4 : g(x,y,t,u)= f(x+t,y+u) :
Image
Soit :
Image.

Encore une fois, ça n'est qu'une hypothèse.

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Lun 30 Jan 2012 02:05
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Message Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques
attention, en analyse non standard, df/dx est bien un quotient d'infinitésimaux, mais d n'est pas un infinitésimal, c'est bien une notation !

df/dx, c'est, en ANS, "la partie standard de (f(x+e)-f(x))/e", e étant un infinitésimal (et f(x+e)-f(x) l'étant par conséquent aussi).

dx est donc bien un infinitésimal (noté aussi e dans mon explication), et df de même, mais df a un sens bien précis, ce n'est pas "d fois f".

Et on peut effectivement considérer "d rond f" et "df" comme deux infinitésimaux différents.

EDIT : Et je pinaille, mais dire "l'ensemble des infinitésimaux" est une erreur ; en effet, il est très facile de démontrer que les infinitésimaux ne forment pas un ensemble. Tu peux éventuellement parler de leur collection.

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Jeu 2 Fév 2012 02:15
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Message Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques
Lindor, j'ai un problème, ce qui m'a poussé à dire que d et ∂ étaient des infinitésimaux, c'est le fait que ce doit être la même application (x,y), sinon ça n'a pas de sens de dériver en un point et de considérer que cette dérivée vaut la même chose en un autre.

Je ne sais pas si je m'exprime bien, au pire j'utiliserais un schéma pour être plus clair, même si Jean-Bob trouve que ça fait tapette.

Sinon, dans mon précédent message je me suis bien aperçu que df n'avait aucun sens en soi et que c'était f(x+e)-f(x), en effet ^^".

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Jeu 2 Fév 2012 20:28
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Message Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques
Bon, j'ai pas complètement suivi le cours de ta pensée, mais je pense pouvoir répondre sans problème à la question suivante : (notant d° le d "rond")

"C'est quoi la différence entre (d°f/d°x).dx et d°f ? Ou, plus précisément, c'est quoi la différence entre d°x et dx ?"

Comme tu te places dans le cadre de l'analyse non standard, que je la maîtrise plus que convenablement et qu'elle a l'avantage d'être extrêmement intuitive, je vais me placer dans ce cadre pour te répondre.

d°f/d°x, ce n'est PAS le quotient de d°f/d°x. On a l'habitude de dire, en analyse non standard, que d°f/d°x, c'est [f(x+d°x)-f(x)]/d°x , avec d°x un infinitésimal.

Ce n'est pas vraiment exact. D'ailleurs, ce serait absurde : le quotient ci-dessus dépend du d°x choisi. Or, d°f/d°x est la notation pour "La dérivée (partielle, éventuellement) de f par rapport à x", qui ne dépend absolument pas d'un d°x quelconque.

En fait, la notation rigoureuse est "d°f/d°x "environ égal à" [f(x+d°x-f(x)]/d°x", sachant qu'en ANS, "environ égal à" est une relation d'équivalence rigoureusement définie par "a environ égal à b si et seulement si a-b est d'ordre inférieur à a et b". Dans la plupart des cas, où a et b seront des réels "classiques", cela reviendra à dire que a-b est infinitésimal, ou encore... Que a est infiniment proche de b, tout simplement.

Cette équivalence entre d°f/d°x et [f(x+d°x-f(x)]/d°x est vraie quel que soit le d°x choisi. On peut montrer, c'est assez facile, qu'il y a un unique réel standard infiniment proche de TOUS les [f(x+d°x)-f(x)]/d°x (pour différents d°x) : en analyse non standard, on note un tel réel la partie standard de [f(x+d°x)-f(x)]/d°x, notée S[[f(x+d°x)-f(x)]/d°x]. Cette partie standard ne dépend PAS de d°x. Ce n'est en aucun cas une fonction linéaire ! S(a/b) n'est pas S(a)/S(b). C'est une évidence : ici, S(d°x)=0 (le seul réel standard infiniment proche d'un infinitésimal est 0). Diviser par 0, c'est pas top.


Voilà donc ce que donne la notation en analyse non standard : (je vais prendre une fonction de deux variables, pour que l'exemple soit plus général)

notons f une fonction de deux variables et z = f(x,y).

dz = (d°f/d°x)(x,y).dx + (d°f/d°y)(x,y).dy

Avec :

dx, dy et dz trois infinitésimaux, qu'on peut interpréter heuristiquement comme des "petites variations de x/y/z"
(d°f/d°x)(x,y) = S[[f(x+d°x,y)-f(x,y)]/d°x] (c'est donc un réel standard ne dépendant pas d'un quelconque infinitésimal d°x)
(d°f/d°y)(x,y) = S[[f(x,y+d°y)-f(x,y)]/d°y] (c'est donc un réel standard ne dépendant pas d'un quelconque infinitésimal d°y)

Il n'y a aucune simplification possible entre d°x et dx, parce qu'il n'y a simplement pas de d°x, c'est une notation ; le d°x qu'on aurait pu choisir est "mutifié" par la fonction de standardisation S.


On appellera dz "différentielle totale de f en (x,y)", qui correspond physiquement à la réponse de f à l'augmentation des variables x et y respectivement de dx et dy, deux infinitésimaux.


Ensuite, les notations utilisées peuvent sembler, après cette explication, peut adaptées : le d°x n'a rien à faire dans la notation et provoque des embrouilles. C'est tout à fait vrai, et c'est pourquoi les mathématiciens utilisent généralement une toute autre notation, à base de jacobiens & cie, développée dans mon cours de maths de l'an dernier. J'ai la flemme d'aller les rechercher, mais dans ces autres notations, aucune ambiguïté n'est possible.

Les notations ici utilisées sont celles de Leibniz, elles sont très vieilles et restent en usage parce que les physiciens apprécient leur côté intuitif. Elles peuvent de plus tout à fait être employées rigoureusement, elles ne sont pas à revoir sur le fond.

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Ven 3 Fév 2012 01:06
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Message Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques
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Message Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques
Tu existes encore toi ? Tu deviens quoi ?

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Ven 3 Fév 2012 01:59
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