*τ a écrit :Une dérivée est, en gros, une différentielle à l'échelle macroscopique. C'est pourquoi on appelle également une différentielle une dérivée partielle. Dans le cas d'une infime variation, c'est-à-dire d'un très petit changement, on utilisera plutôt les différentielles pour calculer ces variations (des vitesses le plus souvent). La dérivée permet de généraliser le tout en disant que globalement la variation est positive ou négative.Almad28 a écrit :Peut-on m'expliquer ce qu'est une différentielle ? C'est une dérivée ? Une infime variation ?
La différentielle et la dérivée sont une seule et même chose, on utilise juste généralement dérivée dans le cas de fonctions de R dans R (ou C). Dans les deux cas il est sujet de variations infinitésimales, la fonction dérivée (puisque c'est de ça dont tu parles TONYMONTANAED) de f est simplement la fonction qui en chaque point a pour valeur le nombre dérivé de f en ce point, mais la différentielle de f est aussi la fonction qui en chaque point a pour valeur la différentielle de f en ce point.
Pour ton délire sur les dérivées partielles, hexbinmos a raison, la différentielle et les dérivées partielles n'ont rien à voir, étant donné qu'une dérivée partielle en un point est un vecteur alors que la différentielle en un point est une matrice. Le seul cas où c'est la même chose c'est lorsque l'espace de départ est R, mais dans ce cas ça sert à rien de parler de dérivée partielle (étant donné qu'il n'y a qu'une seule variable).
Une bonne façon de voir grossièrement la différentielle est à mon avis de s'intéresser aux dérivées directionnelles. Dans le cas des fonctions de R dans R que tu connais bien Almad, R étant une droite, tu n'as que deux façons d'approcher une fonction qui se comporte bien en un point : par la gauche et par la droite, la mesure de l'accroissement infinitésimal suivant ces deux directions se nomme respectivement nombre dérivé à gauche et nombre dérivé à droite. Déjà lorsque la fonction a pour espace de départ R² (le plan), tu vois qu'il y a une infinité de façons d'approcher une fonction en un point : on peut le faire suivant n'importe quelle direction dans le plan. Une dérivée directionnelle va consister à fixer un vecteur dans le plan (représentant une direction) et à regarder les variations infinitésimal de la fonction suivant cette direction (en gros si tu regardes la fonction en trois dimensions, avec l'axe vertical représentant l'espace d'arrivée, c'est comme si tu faisais la section de ta nappe avec un plan vertical dirigé suivant le vecteur et que tu regardais la section ainsi créée comme fonction de R dans R). Lorsque la fonction se comporte à peu près bien (ce qui est le cas des fonctions polynomiales par exemple), si tu appliques le vecteur que tu as choisi à la différentielle (car il faut se rappeler que la différentielle est une matrice, tu peux donc la multiplier à droite par un vecteur) tu trouveras la valeur de la dérivée directionnelle suivant ce vecteur. La différentielle est donc en gros quelque chose qui prend en compte les dérivées directionnelles suivant tous les vecteurs possibles. De plus, les dérivées partielles sont les dérivées directionnelles où les vecteurs sont les vecteurs de base.
EDIT : j'ai oublié de préciser, car ce n'est peut-être pas forcément évident, qu'il en découle que la différentielle, lorsque la fonction se comporte bien, est la matrice constituée des dérivées partielles (en fait plus précisément la différentielle est une application linéaire, donc identifiable à une matrice, et la matrice en elle-même est appelée Jacobienne).