[QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques
Modérateur : τ
Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques
Merci, mais je vois toujours pas le rapport entre S et l'air du carré en fait :/
Je veux dire, qu'est ce que je dois expliquer en fait ?
Je veux dire, qu'est ce que je dois expliquer en fait ?
Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques
Ton but est bien de trouver que S est deux fois plus petite que l'air du carré.
Or S c'est quoi ?
S c'est la somme des aires des deux triangles
Pose déjà cela.
Regarde si tu peux factoriser/développer quelque chose, ou tout bêtement remplacer le nom d'une longueur par une autre.
Finalement fait la corrélation avec l'aire du rectangle que tu auras posé aussi .
Tu vas voir que c'est tout bête.
Or S c'est quoi ?
S c'est la somme des aires des deux triangles
Pose déjà cela.
Regarde si tu peux factoriser/développer quelque chose, ou tout bêtement remplacer le nom d'une longueur par une autre.
Finalement fait la corrélation avec l'aire du rectangle que tu auras posé aussi .
Tu vas voir que c'est tout bête.
Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques
Aire d'un triangle : (base*hauteur)/2
on note x et y 2 nombres tels que x+y =4 (car ici la somme des hauteurs = 4)
la longueur de la base des deux triangles est 4
donc
aire des 2 triangles: (4x)/2+(4y)/2
=(4(x+y))/2
à toi de finir
on note x et y 2 nombres tels que x+y =4 (car ici la somme des hauteurs = 4)
la longueur de la base des deux triangles est 4
donc
aire des 2 triangles: (4x)/2+(4y)/2
=(4(x+y))/2
à toi de finir
Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques
Merci beaucoup guys !
- Taeko
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Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques
Bonsoir !
J'ai un DM noté de maths à faire pour bientôt, et j'aimerais de ce fait être sur de la rigueur de ma rédaction. Pouvez vous me conseiller s'il vous plait ?
consigne : Montrer que (Un) est décroissante à partir de n=5. En déduire qu'elle converge et déterminer sa limite.
On a Un=n²/2^n
Un+1/Un=1/2
=> J'en déduis que la suite (Un) est décroissante, car Un>Un+1.
J'ai ensuite calculé U0, U1, U2, U3, U4 et U5.
U0=0
U1=1/2
U2=1
U3=9/8 (1.125)
U4=1
U5=25/32 (~0.781 à 10^-3 près)
Donc on peut noter U0<U1<U2<U3>U4>U5
=>La suite (Un) est décroissante à partir de n=3, et à fortiori à partir de n=5.
Conclusion : La suite (Un) est décroissante à partir de n=5. (Un) est décroissante et supérieure à 1/2, donc elle converge vers 1/2. Ainsi, lim(Un)=1/2. (n->+infini)
Est-ce rigoureux ?
Mici Ü
J'ai un DM noté de maths à faire pour bientôt, et j'aimerais de ce fait être sur de la rigueur de ma rédaction. Pouvez vous me conseiller s'il vous plait ?
consigne : Montrer que (Un) est décroissante à partir de n=5. En déduire qu'elle converge et déterminer sa limite.
On a Un=n²/2^n
Un+1/Un=1/2
=> J'en déduis que la suite (Un) est décroissante, car Un>Un+1.
J'ai ensuite calculé U0, U1, U2, U3, U4 et U5.
U0=0
U1=1/2
U2=1
U3=9/8 (1.125)
U4=1
U5=25/32 (~0.781 à 10^-3 près)
Donc on peut noter U0<U1<U2<U3>U4>U5
=>La suite (Un) est décroissante à partir de n=3, et à fortiori à partir de n=5.
Conclusion : La suite (Un) est décroissante à partir de n=5. (Un) est décroissante et supérieure à 1/2, donc elle converge vers 1/2. Ainsi, lim(Un)=1/2. (n->+infini)
Est-ce rigoureux ?
Mici Ü
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Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques
Houlala, pas vraiment =)
Tu ne peux pas déduire les variations de ta fonction d'après une simple étude des calculs des premiers termes. Essaie de travailler avec l'expression générale de ta suite.
Tu devrais entrer la fonction sur ta calculette pour vérifier si ton résultat est possible ou pas.
Pour la convergence, je ne sais pas quelle formules tu as apprises, mais tu es censés les appliquer, là on ne sait pas d'où ça sort le (un) > 1/2 (d'autant que c'est faux)
Tu ne peux pas déduire les variations de ta fonction d'après une simple étude des calculs des premiers termes. Essaie de travailler avec l'expression générale de ta suite.
Tu devrais entrer la fonction sur ta calculette pour vérifier si ton résultat est possible ou pas.
Pour la convergence, je ne sais pas quelle formules tu as apprises, mais tu es censés les appliquer, là on ne sait pas d'où ça sort le (un) > 1/2 (d'autant que c'est faux)
And I was like, "Was ist das ?"
Lanfear a écrit :Et là je retrouve Yam en train d'embrasser Sheepside
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Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques
je me suis gouré pour la convergence en effet ^^ j'ai inversé avec une autre suite de l'exercice.Yaemgo a écrit :Houlala, pas vraiment =)
Tu ne peux pas déduire les variations de ta fonction d'après une simple étude des calculs des premiers termes. Essaie de travailler avec l'expression générale de ta suite.
Tu devrais entrer la fonction sur ta calculette pour vérifier si ton résultat est possible ou pas.
Pour la convergence, je ne sais pas quelle formules tu as apprises, mais tu es censés les appliquer, là on ne sait pas d'où ça sort le (un) > 1/2 (d'autant que c'est faux)
bah, les variations je les ai, (Un) est décroissante vu que Un+1/Un >1/2, après on ne sait pas à partir de quand, d'où le calcul des premiers termes pour savoir qu'à partir de n=5, elle décroit. Je vais essayer de bidouiller l'expression générale pour arriver au fait que Un décroit à partir de n=3, mais je ne sais pas vraiment où aller chercher ^^"
concernant la limite c'est présentement du type infini/infini, il faut donc développer ca de façon à "briser" cette FI. Je vais me débrouiller, avec la calto on voit qu'elle tend vers 0, plus qu'à le prouver ^^'
merci de ta réponse déjà =)
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Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques
J'ai pas posé le problème, mais j'ai une remarque :
Si tu as montré que Un+1 / Un < 1/2 pour tout n, alors on en tire que Un+1 < (1/2) Un < Un, pour tout n (Un étant toujours positif, Un/2 < Un).
Comme tu as calculé les premières valeurs, il semblerait que la suite ne soit pas décroissante à partir du premier terme, sauf erreur dans les calculs. J'en déduis donc qu'il y a une erreur dans le raisonnement précédent.
Regardons Un+1/Un : c'est égal à [(n+1)²/n²] x (1/2)
Elle est là, l'erreur : [(n+1)/n]², c'est plus grand que 1. Tu ne peux donc pas en déduire que Un+1/Un < 1/2
Par contre, tu en tires immédiatement ceci, et je pense que ça va te donner le résultat cherché sans difficultés :
Pour qu'on ait Un+1 < Un, il faut Un+1/Un < 1
or, Un+1/Un = [(n+1)²/n²] x (1/2)
Cette expression n'est < 1 que si [(n+1)²/n²] est < 2, à cause du facteur 1/2
or, [(n+1)²/n²] < 2 si et seulement si (n+1)/n < racine(2) (je noterai sqrt(2) cette racine par la suite, c'est la notation conventionnelle). Note : On peut passer à la racine uniquement parce qu'on travail sur des nombres positifs !
il faut donc n+1 < sqrt(2) x n
ou encore n > 1 / (sqrt(2)-1) (je passe les nombres du même côté, en faisant attention à bien changer le sens de l'inégalité lorsque je manipule quelque chose de négatif).
Un rapide calcul mental : racine de 2, c'est à peu près 1.44, et 0.44 c'est pas très loin de 2/5 (qui vaut 0.4)
je trouve donc 1/(1.4-1) environ égal à 5/2 = 2.5
De là, il faut n > 2.5
Le premier entier plus grand que 2.5 est 3 : A partir du rang 3, on a toujours Un+1/Un < 1, comme je viens donc de le montrer.
La suite Un est donc décroissante à partir de rang 3.
Attention : Bien préciser que dès qu'il y a un "n" au dénominateur, on exclut le cas "n=0", qu'on peut traiter à part sans aucun problèmes (en calculant U0 et U1, par exemple, pour constater lequel est le plus grand).
Pour la limite, j'ai plusieurs idées. Mais ça dépend des résultats que tu possèdes : as-tu déjà établi des résultats du types "exponentiel est plus fort que la puissance : pour tout réel "a" donné, limite lorsque x -> l'infini de (x^a)/exp(x) = 0 ?
Si tu l'as déjà établi, écrit 2^n sous la forme d'une exponentielle et c'est bon.
Sinon, c'est un peu plus long ; naturellement, je tendrais à procéder ainsi :
-La suite est décroissante et positive ; elle admet donc nécessairement une limite. De plus, cette limite est positive. Normalement, ceci découle immédiatement de résultats que tu as vu en cours (mais si ça te semble obscure, n'hésite pas à demander - par MP, je risque d'oublier de repasser sur ce topic).
-Je suppose que cette limite est strictement positive ; je la note L.
Je veux montrer qu'à un moment, Un sera strictement inférieur à L : en effet, Un étant décroissante (strictement) à partir du rang 3, si à partir d'un certain rang Un < L, alors Un ne peut pas tendre vers L et on aura trouvé une absurdité.
-Pour montrer qu'à partir d'un rang n donné, Un < L, le plus simple est encore de trouver ce rang n :
Un < L ssi (n²/2^n) < L
ssi 2.ln(n) < ln(2).n.L, en utilisant le fait que le logarithme est croissant (il ne change donc pas le sens de l'inégalité si je prend le log de chaque côté), et en appliquant les règles usuelles de manipulation du logarithme (si tu bloques ici, préviens moi : c'est juste des manipulations de base)
ssi M.ln(n) < n, en notant M = 2/(L.ln(2)), pour ne pas m'embêter avec les constantes.
En fait (j'écris au fur et à mesure, donc je te donne directement le fil de ma réflexion), tu ne peux pas te passer du résultat suivant, qui est simplement équivalent à celui dont je t'ai demandé avant si tu l'avais :
ln(n)/n tend vers 0 en l'infini.
En admettant ce résultat, que tu es censé connaître, je pense, alors en prenant n assez grand pour que ln(n)/n soit plus petit que 1/M (licite car ln(n)/n tend vers 0), notant N le n en question, on a bien M.ln(N) < N, et en remontant, UN < L, ce qui est absurde (comme expliqué précédemment). On en déduit donc que la limite de Un en + l'infini est 0. Et on peut le faire bien plus directement sans passer par l'absurde, c'est juste que j'essayais ça pour voir si ça pouvait contourner le problème du résultat dont tu as besoin ^^
Si tu n'as jamais vu que ln(n)/n tend vers 0 en l'infini, alors c'est que tu dois le montrer. Je peux te le faire, mais ça me semblerait un peu dur de demander ça à un élève de terminale.
Si tu as montré que Un+1 / Un < 1/2 pour tout n, alors on en tire que Un+1 < (1/2) Un < Un, pour tout n (Un étant toujours positif, Un/2 < Un).
Comme tu as calculé les premières valeurs, il semblerait que la suite ne soit pas décroissante à partir du premier terme, sauf erreur dans les calculs. J'en déduis donc qu'il y a une erreur dans le raisonnement précédent.
Regardons Un+1/Un : c'est égal à [(n+1)²/n²] x (1/2)
Elle est là, l'erreur : [(n+1)/n]², c'est plus grand que 1. Tu ne peux donc pas en déduire que Un+1/Un < 1/2
Par contre, tu en tires immédiatement ceci, et je pense que ça va te donner le résultat cherché sans difficultés :
Pour qu'on ait Un+1 < Un, il faut Un+1/Un < 1
or, Un+1/Un = [(n+1)²/n²] x (1/2)
Cette expression n'est < 1 que si [(n+1)²/n²] est < 2, à cause du facteur 1/2
or, [(n+1)²/n²] < 2 si et seulement si (n+1)/n < racine(2) (je noterai sqrt(2) cette racine par la suite, c'est la notation conventionnelle). Note : On peut passer à la racine uniquement parce qu'on travail sur des nombres positifs !
il faut donc n+1 < sqrt(2) x n
ou encore n > 1 / (sqrt(2)-1) (je passe les nombres du même côté, en faisant attention à bien changer le sens de l'inégalité lorsque je manipule quelque chose de négatif).
Un rapide calcul mental : racine de 2, c'est à peu près 1.44, et 0.44 c'est pas très loin de 2/5 (qui vaut 0.4)
je trouve donc 1/(1.4-1) environ égal à 5/2 = 2.5
De là, il faut n > 2.5
Le premier entier plus grand que 2.5 est 3 : A partir du rang 3, on a toujours Un+1/Un < 1, comme je viens donc de le montrer.
La suite Un est donc décroissante à partir de rang 3.
Attention : Bien préciser que dès qu'il y a un "n" au dénominateur, on exclut le cas "n=0", qu'on peut traiter à part sans aucun problèmes (en calculant U0 et U1, par exemple, pour constater lequel est le plus grand).
Pour la limite, j'ai plusieurs idées. Mais ça dépend des résultats que tu possèdes : as-tu déjà établi des résultats du types "exponentiel est plus fort que la puissance : pour tout réel "a" donné, limite lorsque x -> l'infini de (x^a)/exp(x) = 0 ?
Si tu l'as déjà établi, écrit 2^n sous la forme d'une exponentielle et c'est bon.
Sinon, c'est un peu plus long ; naturellement, je tendrais à procéder ainsi :
-La suite est décroissante et positive ; elle admet donc nécessairement une limite. De plus, cette limite est positive. Normalement, ceci découle immédiatement de résultats que tu as vu en cours (mais si ça te semble obscure, n'hésite pas à demander - par MP, je risque d'oublier de repasser sur ce topic).
-Je suppose que cette limite est strictement positive ; je la note L.
Je veux montrer qu'à un moment, Un sera strictement inférieur à L : en effet, Un étant décroissante (strictement) à partir du rang 3, si à partir d'un certain rang Un < L, alors Un ne peut pas tendre vers L et on aura trouvé une absurdité.
-Pour montrer qu'à partir d'un rang n donné, Un < L, le plus simple est encore de trouver ce rang n :
Un < L ssi (n²/2^n) < L
ssi 2.ln(n) < ln(2).n.L, en utilisant le fait que le logarithme est croissant (il ne change donc pas le sens de l'inégalité si je prend le log de chaque côté), et en appliquant les règles usuelles de manipulation du logarithme (si tu bloques ici, préviens moi : c'est juste des manipulations de base)
ssi M.ln(n) < n, en notant M = 2/(L.ln(2)), pour ne pas m'embêter avec les constantes.
En fait (j'écris au fur et à mesure, donc je te donne directement le fil de ma réflexion), tu ne peux pas te passer du résultat suivant, qui est simplement équivalent à celui dont je t'ai demandé avant si tu l'avais :
ln(n)/n tend vers 0 en l'infini.
En admettant ce résultat, que tu es censé connaître, je pense, alors en prenant n assez grand pour que ln(n)/n soit plus petit que 1/M (licite car ln(n)/n tend vers 0), notant N le n en question, on a bien M.ln(N) < N, et en remontant, UN < L, ce qui est absurde (comme expliqué précédemment). On en déduit donc que la limite de Un en + l'infini est 0. Et on peut le faire bien plus directement sans passer par l'absurde, c'est juste que j'essayais ça pour voir si ça pouvait contourner le problème du résultat dont tu as besoin ^^
Si tu n'as jamais vu que ln(n)/n tend vers 0 en l'infini, alors c'est que tu dois le montrer. Je peux te le faire, mais ça me semblerait un peu dur de demander ça à un élève de terminale.
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Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques
J'ai failli le dire, mais ça me paraissait tellement évident...
Yaemgo a écrit :Epic win.
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Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques
quand j'ai vus que c'etait toi qui avait le dernier post en section maths je me suis dis que ton message nous bercerait de sagesse, et c'est le cas.Lanfear a écrit :J'ai failli le dire, mais ça me paraissait tellement évident...
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Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques
Mmm, ok, j'ai à peu près suivi le raisonnement.Lindor a écrit :J'ai pas posé le problème, mais j'ai une remarque :
Si tu as montré que Un+1 / Un < 1/2 pour tout n, alors on en tire que Un+1 < (1/2) Un < Un, pour tout n (Un étant toujours positif, Un/2 < Un).
Comme tu as calculé les premières valeurs, il semblerait que la suite ne soit pas décroissante à partir du premier terme, sauf erreur dans les calculs. J'en déduis donc qu'il y a une erreur dans le raisonnement précédent.
Regardons Un+1/Un : c'est égal à [(n+1)²/n²] x (1/2)
Elle est là, l'erreur : [(n+1)/n]², c'est plus grand que 1. Tu ne peux donc pas en déduire que Un+1/Un < 1/2
Par contre, tu en tires immédiatement ceci, et je pense que ça va te donner le résultat cherché sans difficultés :
Pour qu'on ait Un+1 < Un, il faut Un+1/Un < 1
or, Un+1/Un = [(n+1)²/n²] x (1/2)
Cette expression n'est < 1 que si [(n+1)²/n²] est < 2, à cause du facteur 1/2
or, [(n+1)²/n²] < 2 si et seulement si (n+1)/n < racine(2) (je noterai sqrt(2) cette racine par la suite, c'est la notation conventionnelle). Note : On peut passer à la racine uniquement parce qu'on travail sur des nombres positifs !
il faut donc n+1 < sqrt(2) x n
ou encore n > 1 / (sqrt(2)-1) (je passe les nombres du même côté, en faisant attention à bien changer le sens de l'inégalité lorsque je manipule quelque chose de négatif).
Un rapide calcul mental : racine de 2, c'est à peu près 1.44, et 0.44 c'est pas très loin de 2/5 (qui vaut 0.4)
je trouve donc 1/(1.4-1) environ égal à 5/2 = 2.5
De là, il faut n > 2.5
Le premier entier plus grand que 2.5 est 3 : A partir du rang 3, on a toujours Un+1/Un < 1, comme je viens donc de le montrer.
La suite Un est donc décroissante à partir de rang 3.
je me rend compte que j'ai écrit une grosse erreur avant O_O das l'énoncé il est dit : Vn=(Un+1)/Un, et dans la question précédente on a démontré que Vn>1/2. Donc (Un+1)/Un>1/2.
Après j'ai suivi ton raisonnement pour démontrer que la suite (Un) est décroissante à partir du rang 3, merci de ton aide =)
A savoir aussi, on fait ce problème pour tout n € N/{0}.
Sans tenir compte du fait que je suis redoublant et que j'ai déjà vu la fonction e^(x) et ln(x), en classe on n'a jamais vu ces fonctions là, donc on n'a pas le droit de les utiliser =XLindor a écrit :Pour la limite, j'ai plusieurs idées. Mais ça dépend des résultats que tu possèdes : as-tu déjà établi des résultats du types "exponentiel est plus fort que la puissance : pour tout réel "a" donné, limite lorsque x -> l'infini de (x^a)/exp(x) = 0 ?
Si tu l'as déjà établi, écrit 2^n sous la forme d'une exponentielle et c'est bon.
Sinon, c'est un peu plus long ; naturellement, je tendrais à procéder ainsi :
-La suite est décroissante et positive ; elle admet donc nécessairement une limite. De plus, cette limite est positive. Normalement, ceci découle immédiatement de résultats que tu as vu en cours (mais si ça te semble obscure, n'hésite pas à demander - par MP, je risque d'oublier de repasser sur ce topic).
-Je suppose que cette limite est strictement positive ; je la note L.
Je veux montrer qu'à un moment, Un sera strictement inférieur à L : en effet, Un étant décroissante (strictement) à partir du rang 3, si à partir d'un certain rang Un < L, alors Un ne peut pas tendre vers L et on aura trouvé une absurdité.
-Pour montrer qu'à partir d'un rang n donné, Un < L, le plus simple est encore de trouver ce rang n :
Un < L ssi (n²/2^n) < L
ssi 2.ln(n) < ln(2).n.L, en utilisant le fait que le logarithme est croissant (il ne change donc pas le sens de l'inégalité si je prend le log de chaque côté), et en appliquant les règles usuelles de manipulation du logarithme (si tu bloques ici, préviens moi : c'est juste des manipulations de base)
ssi M.ln(n) < n, en notant M = 2/(L.ln(2)), pour ne pas m'embêter avec les constantes.
En fait (j'écris au fur et à mesure, donc je te donne directement le fil de ma réflexion), tu ne peux pas te passer du résultat suivant, qui est simplement équivalent à celui dont je t'ai demandé avant si tu l'avais :
ln(n)/n tend vers 0 en l'infini.
En admettant ce résultat, que tu es censé connaître, je pense, alors en prenant n assez grand pour que ln(n)/n soit plus petit que 1/M (licite car ln(n)/n tend vers 0), notant N le n en question, on a bien M.ln(N) < N, et en remontant, UN < L, ce qui est absurde (comme expliqué précédemment). On en déduit donc que la limite de Un en + l'infini est 0. Et on peut le faire bien plus directement sans passer par l'absurde, c'est juste que j'essayais ça pour voir si ça pouvait contourner le problème du résultat dont tu as besoin ^^
Si tu n'as jamais vu que ln(n)/n tend vers 0 en l'infini, alors c'est que tu dois le montrer. Je peux te le faire, mais ça me semblerait un peu dur de demander ça à un élève de terminale.
L'an dernier j'aurais utilisé, en bidouillant un peu, le théorème de croissance comparée, et prouvé que la suite admet pour limite 0. En regardant dans mon cours je ne vois pas grand chose qui puisse m'aider, à moins qu'un théorème des gendarmes puisse venir m'aider ici ...
C'est joli un raisonnement par l'absurde, faudrait que j'y pense plus souvent =) mais là tu utilises ln, et comme on ne l'a jamais vu c'est problématique ^^"
Au pire je mettrais sur la copie : lim(Un)=FI Ü ou alors, n'a pas le lvl requis pour résoudre cette limite ^^'
Merci de ton aide en tout cas, elle m'est bien utile Ü
Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques
Coucou les amis.
Mon prof de philo nous a filé une énigme sur la base du sophisme le plus connu :
Soit x un cheval, soit R l'ensemble des choses rares, et C l'ensemble des choses chères.
La phrase «Ce qui est rare est cher.» se traduit par l'expression : ∀x (x∈R) ⇒ (x∈C).
La phrase «Un cheval bon marché est rare.» se traduit par l'expression : ∀x ¬(x∈C) ⇒ (x∈R).
Donc les conditions à la conclusion se traduisent par : ∀x [(x∈R) ⇒ (x∈C)]∧[¬(x∈C) ⇒ (x∈R)]
La phrase «un cheval bon marché est cher.» se traduit par l'expression : ∀x ¬(x∈C) ∧ (x∈C).
Soit A:=(x∈R) et B:=(x∈C)
La phrase «Ce qui est rare est cher.» se traduit par l'expression : ∀x A ⇒ B.
La phrase «Un cheval bon marché est rare.» se traduit par l'expression : ∀x ¬B ⇒ A.
Donc les conditions à la conclusion se traduisent par : ∀x [A ⇒ B]∧[¬B ⇒ A]
La phrase «un cheval bon marché est cher.» se traduit par l'expression : ∀x ¬B ∧ B, soit ∀x ⊥
Or (A ⇒ B) :⇔ (¬A ∨ B)
Donc
La phrase «Ce qui est rare est cher.» se traduit par l'expression : ∀x ¬A ∨ B.
La phrase «Un cheval bon marché est rare.» se traduit par l'expression : ∀x ¬(¬B) ∨ A, soit ∀x B ∨ A.
Donc les conditions à la conclusion se traduisent par : ∀x (¬A ∨ B)∧(B ∨ A)
La phrase «un cheval bon marché est cher.» se traduit par l'expression : ∀x ⊥
or (¬A ∨ B)∧(B ∨ A) ⇔ (A ∧ ¬A) ∨ (B ∧ ¬A) ∨ (B ∧ A) ∨ (B ∧ B) ⇔ (B ∧ ¬A) ∨ (B ∧ A) ∨ B ⇔ B∧(¬A ∨ A ∨ T) ⇔ B.
et la proposition totale se traduisant par : ∀x [(x∈R) ⇒ (x∈C)]∧[¬(x∈C) ⇒ (x∈R)] ⇒ [¬(x∈C) ∧ (x∈C)]
soit : ∀x [A ⇒ B]∧[¬B ⇒ A] ⇒ [¬B ∧ B]
soit : ∀x (¬A ∨ B)∧(B ∨ A) ⇒ ⊥
soit : ∀x B ⇒ ⊥
soit : ∀x ¬B ∨ ⊥
soit : ∀x ¬B
On trouve que l'implication n'est vraie que si B est fausse.
Or, si B := ⊥
La phrase «Ce qui est rare est cher.» se traduit par l'expression : ∀x ¬A ∨ ⊥, soit ∀x ¬A
La phrase «Un cheval bon marché est rare.» se traduit par l'expression : ∀x ¬(¬⊥) ∨ A, soit ∀x ⊥ ∨ A, soit ∀x A
Donc les conditions à la conclusion se traduisent par : ∀x (¬A ∨ ⊥)∧(⊥ ∨ A), soit ∀x ¬A ∧ A, soit ⊥
Donc pour que l'implication soit vraie, il est nécessaire que les prémisses soient fausse.
Or le problème est posé en considérant les prémisses vraies, donc l'implication est fausse.
Mon prof de philo nous a filé une énigme sur la base du sophisme le plus connu :
J'y ai répondu de la manière suivante :«Ce qui est rare est cher.
Un cheval bon marché est rare.
Donc un cheval bon marché est cher.»
Résoudre le paradoxe.
Quand la forme du raisonnement est correcte, et que les prémisses sont vraies, la conclusion est nécessairement vraie. Or, ici, la conclusion est contradictoire, donc fausse.
On supposera les prémisses vraies.
Soit x un cheval, soit R l'ensemble des choses rares, et C l'ensemble des choses chères.
La phrase «Ce qui est rare est cher.» se traduit par l'expression : ∀x (x∈R) ⇒ (x∈C).
La phrase «Un cheval bon marché est rare.» se traduit par l'expression : ∀x ¬(x∈C) ⇒ (x∈R).
Donc les conditions à la conclusion se traduisent par : ∀x [(x∈R) ⇒ (x∈C)]∧[¬(x∈C) ⇒ (x∈R)]
La phrase «un cheval bon marché est cher.» se traduit par l'expression : ∀x ¬(x∈C) ∧ (x∈C).
Soit A:=(x∈R) et B:=(x∈C)
La phrase «Ce qui est rare est cher.» se traduit par l'expression : ∀x A ⇒ B.
La phrase «Un cheval bon marché est rare.» se traduit par l'expression : ∀x ¬B ⇒ A.
Donc les conditions à la conclusion se traduisent par : ∀x [A ⇒ B]∧[¬B ⇒ A]
La phrase «un cheval bon marché est cher.» se traduit par l'expression : ∀x ¬B ∧ B, soit ∀x ⊥
Or (A ⇒ B) :⇔ (¬A ∨ B)
Donc
La phrase «Ce qui est rare est cher.» se traduit par l'expression : ∀x ¬A ∨ B.
La phrase «Un cheval bon marché est rare.» se traduit par l'expression : ∀x ¬(¬B) ∨ A, soit ∀x B ∨ A.
Donc les conditions à la conclusion se traduisent par : ∀x (¬A ∨ B)∧(B ∨ A)
La phrase «un cheval bon marché est cher.» se traduit par l'expression : ∀x ⊥
or (¬A ∨ B)∧(B ∨ A) ⇔ (A ∧ ¬A) ∨ (B ∧ ¬A) ∨ (B ∧ A) ∨ (B ∧ B) ⇔ (B ∧ ¬A) ∨ (B ∧ A) ∨ B ⇔ B∧(¬A ∨ A ∨ T) ⇔ B.
et la proposition totale se traduisant par : ∀x [(x∈R) ⇒ (x∈C)]∧[¬(x∈C) ⇒ (x∈R)] ⇒ [¬(x∈C) ∧ (x∈C)]
soit : ∀x [A ⇒ B]∧[¬B ⇒ A] ⇒ [¬B ∧ B]
soit : ∀x (¬A ∨ B)∧(B ∨ A) ⇒ ⊥
soit : ∀x B ⇒ ⊥
soit : ∀x ¬B ∨ ⊥
soit : ∀x ¬B
On trouve que l'implication n'est vraie que si B est fausse.
Or, si B := ⊥
La phrase «Ce qui est rare est cher.» se traduit par l'expression : ∀x ¬A ∨ ⊥, soit ∀x ¬A
La phrase «Un cheval bon marché est rare.» se traduit par l'expression : ∀x ¬(¬⊥) ∨ A, soit ∀x ⊥ ∨ A, soit ∀x A
Donc les conditions à la conclusion se traduisent par : ∀x (¬A ∨ ⊥)∧(⊥ ∨ A), soit ∀x ¬A ∧ A, soit ⊥
Donc pour que l'implication soit vraie, il est nécessaire que les prémisses soient fausse.
Or le problème est posé en considérant les prémisses vraies, donc l'implication est fausse.
Dernière modification par hexbinmos le sam. 15 oct. 2011 12:35, modifié 1 fois.
Réalisme : Passé + Présent = Futur. Si ça n'est pas fait ou que ça n'a jamais été fait, alors ça ne sera jamais fait.
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Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques
C'est quoi ta question au juste ?Radek a écrit :Le but de ce topic est de vous permettre de poser vos éventuelles questions liées aux mathématiques, que ce soit par curiosité, pour vos devoirs, ou pour n’importe quelle autre raison.
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Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques
Est-ce qu'il y a une erreur ? Pour vérifier.Picool a écrit :C'est quoi ta question au juste ?Radek a écrit :Le but de ce topic est de vous permettre de poser vos éventuelles questions liées aux mathématiques, que ce soit par curiosité, pour vos devoirs, ou pour n’importe quelle autre raison.
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Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques
Ton prof de philo va se tirer une balle non?