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[QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques

Publié : jeu. 17 sept. 2009 23:28
par Radek
Le but de ce topic est de vous permettre de poser vos éventuelles questions liées aux mathématiques, que ce soit par curiosité, pour vos devoirs, ou pour n’importe quelle autre raison.

Si possible, essayez de réserver ce topic à des questions qui sont abordables à votre niveau. Si vous souhaitez approfondir des points particuliers qui sont trop avancés et qui demandent des explications longues et détaillés, ou si vous souhaitez discuter d’un domaine des mathématiques en général, n’hésitez pas à créer un topic dans ce but.

N’importe qui est autorisé à répondre aux questions posées ici. Toutefois, il est indispensable de se soumettre à la politique d’aide expliquée dans ce topic pour des raisons pédagogiques.

Voici la liste des gens dont les réponses sont sans doute dignes de confiance.

Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques

Publié : ven. 18 sept. 2009 22:54
par ToS [CCC]
chère Radek...je me demandais depuis un petit bout de temps d'où sort pi oO
je tiens à préciser que le viens de rentrer en 3° donc euh..."^^

et à quoi il sert exactement ?
puis ça sert à quoi de la calculer vu que c'est un nombre irrationnel...enfin je n'en vois pas le but "^^

pourrais-tu m'éclairer ? (c'est uniquement par curiosité)

Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques

Publié : ven. 18 sept. 2009 23:36
par Radek
ToS a écrit :chère Radek...je me demandais depuis un petit bout de temps d'où sort pi oO

C'est un nombre qu'on rencontre en premier lieu à cause de ceci :
(périmètre d'un cercle)/(diamètre de ce cercle) = pi
En gros, si t'as un cercle dont le diamètre vaut un, la circonférence du cercle sera pi.

ToS a écrit :et à quoi il sert exactement ?

Avec ce que je viens de dire, tu dois déjà te rendre compte qu'il doit avoir beaucoup de liens avec la géométrie, et c'est le cas.
Ensuite, c'est aussi un nombre utile à cause de certaines fonctions qui sont périodiques. Une fonction périodique, c'est une fonction qui prend des valeurs de façon répétée. Et elles se répètent avec une certaine fréquence. Pour beaucoup de fonctions très importantes, cette fréquence est 1/pi ou 2/pi (on dit que la période de ces fonctions est pi ou pi/2). En généralisant ces fonctions, ça en donne d'autres pour lesquelles pi joue encore un rôle fondamental, et ainsi de suite, et on finit par retrouver pi partout.
Pour te donner un exemple physique où peut apparaître pi : dans les équations de propagation des ondes (vagues, lumière, le son, etc) pi peut intervenir dans de nombreux cas.
Pi apparaît vraiment dans un tas de formules mathématiques. ^^

ToS a écrit :puis ça sert à quoi de la calculer vu que c'est un nombre irrationnel...enfin je n'en vois pas le but "^^

A cause du mystère qui règne autour de pi (pourquoi la circonférence d'un cercle de diamètre unité vaut un nombre si particulier ?), les gens essaient de voir s'il n'y a pas une relation quelconque dans les décimales de pi, comme des décimales qui se répètent, etc. Et sinon, pour le fun. :P

Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques

Publié : ven. 18 sept. 2009 23:42
par Tikle
Pi c'est la demi circonférence d'un cercle de rayon 1, et de tête il doit valoir a peu près 3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679... (je connais que les 100 premières, désolé de te laisser dans le doute quant aux décimales suivantes)

L'utilité du nombre : d'abord pour calculer une bonne partie des propriétés de tout ce qui est rond, sphérique, sinusoïdal ou dans ce genre là. Le périmètre d'un cercle, c'est 2*Pi*R, la surface d'une sphère 4*Pi*R², et en physique on l'utilise énoooormément.

L'utilité de calculer les décimales de Pi : il faut savoir que les dix premières décimales permettent de calculer un truc du genre, la circonférence de la voie lactée au milimètre près. Alors pourquoi s'embêter à vouloir toujours plus de décimales ? Simplement parce que la recherche des décimales de Pi permet de développer des techniques qui servent dans d'autres domaines. Plus on avance dans les découvertes des décimales, plus on trouve des algorithmes qui sont puissants. J'ai étudié la formule dite "BBP" pour les études, qui permet de calculer la N-ème décimale de Pi en hexadécimal, sans calculer les précédentes ; et bien on se rend compte que y'a des techniques qui permettent de calculer très rapidement des nombres très grands (bon un exemple simple : l'exponentiation rapide), et que les recherches dans le calcul des décimales de Pi peuvent finir dans le micro-onde de l'astronaute en 2038, ou encore dans les fibres des chaussettes synthétiques de professionnel d'aviron.

Sans vérifier je parie que Radek a répondu avant moi mais peu importe, le message lui était adressé ^^

Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques

Publié : ven. 18 sept. 2009 23:55
par Lindor
Le calcul du plus grand nombre possible de décimales de pi a actuellement trois fonctions : Le plaisir de connaître un peu mieux l'un des nombres les plus importants des mathématiques, la possibilité de tester la puissance d'ordinateurs (on regarde sa vitesse de calcul des décimales et on compare avec les milliers d'autres qui calculent aussi), et enfin la possibilité de vérifier si les décimales de pi satisfont certaines propriétés. Par exemple, on aimerait bien prouver que Pi est un nombre "normal", c'est à dire que ses décimales sont equiréparties (en gros, si tu prends un chiffre de pi au hasard et que pi est normal, tu as exactement une chance sur 10 de tomber sur un 0, et pareil pour les autres chiffres).

En pratique, il va servir dans les domaines suivants :
-en électricité, on utilise des fonctions (si tu n'as pas encore vu les fonctions, tu apprendras bientôt) dites "sinusoïdales" dans pas mal de circuits, et ces fonctions sont 2Pi periodiques (cela veut dire qu'elles se répètent tout les 2Pi, en gros).
-en astronomie, Pi sert aux calculs d'orbites (qui sont des ellipses, et la circonférence d'une ellipse se trouve à l'aide de Pi)
-Pour étudier des ondes, la periodicité et Pi reviennent très souvent.

Ensuite, tu remarques sur ton rapporteur que pour mesurer un angle, on utilise un cercle (un demi cercle dans le cas du rapporteur). Pi étant la circonférence du cercle (au rayon près), il y a une unité d'angle (le radian) qui est basée sur Pi. En se servant des règles de la trigonométrie (que tu verras aussi en troisième, pour certains cas simples, si tu ne l'as pas déjà vu en quatrième), on peut faire des calculs d'angles extrèmement précis, qui servent je suppose en architecture par exemple.


Edit Lanf' : Je vote Lindor le plus clair des trois ^^

Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques

Publié : sam. 19 sept. 2009 09:37
par ToS [CCC]
wow...merci à tous pour ces éclairements ^^
je ne pensais pas que ce nombre était si important...enfin j'm'en doutais mais pas plus que ça, de là à calculer au millimètre près la taille d'une voie lactée euh..."^^

en tout cas vraiment merci :)

Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques

Publié : sam. 19 sept. 2009 15:06
par Jean-Bob
La réponse la plus juste à la question "Mais à quoi ça sert de calculer les décimales de Pi ?" est simplement selon moi "Because we can".

Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques

Publié : sam. 19 sept. 2009 16:46
par KingJames51
Pi te seras aussi très utile quand tu feras de la trigo au lycée, avec les cercles trigonométriques et les radians.

Par contre avec la trigo de 3e t'en a pas besoin, c'est trop facile :mrgreen:

Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques

Publié : sam. 19 sept. 2009 17:09
par τ
KingJames51 a écrit :Pi te seras aussi très utile quand tu feras de la trigo au lycée, avec les cercles trigonométriques et les radians.

Par contre avec la trigo de 3e t'en a pas besoin, c'est trop facile :mrgreen:


Oui, les fonctions trigonométriques que tu rencontreras à partir de la fin de seconde n'auront pas grand chose à voir avec ce que tu auras pu voir en 3eme. Et des fonctions trigo, tu vas en bouffer pendant tes années lycée^^ (Essaie de retenir ceci pour plus tard: coco moins sisi, sico plus cosi)

Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques

Publié : sam. 19 sept. 2009 21:19
par Almad28
Ce que je trouve marrant, c'est que vous dites tout le programme en maths de seconde alors qu'il y a plein de trucs que je n'ai pas fait...
Par exemple, en maths, on devait faire un exo à la maison sur les valeurs absolues (dans ma classe actuelle de 1èreS) , j'étais le seul de la classe à ne pas l'avoir étudié en seconde (car je suis le seul de la classe des secondes 2 à être en 1èreS2.).
Donc j'étais le seul à ne pas l'avoir étudié l'année précédente, résultat je regarde vite fait la définition dans le livre, et au final, je suis l'un des seuls à avoir réussi l'exercice. :??: :P
Soit je suis bon, soit ils sont mauvais dans ma classe. :mrgreen:
Bref, je sens que ce topic va m'être trèèèèèèès utile en S. =)
Ben d'ailleurs, j'ai 4 exos pour lundi, à mon avis ça ne va pas m'étonner que je poste ici demin soir ^^.

Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques

Publié : dim. 20 sept. 2009 14:18
par Thib_
B'jour b'jour !

J'ai un peu besoin d'aide.

Je cherche à résoudre dans C l'équation (z + 1) ^ n = e ^ (2nia)
Avec n ≥ 1 , a Є R , z Є C.

Bon, ça c'est trivial, les z solutions sont les z = e ^[ i(a + kπ/n) ]* 2i sin (a + kπ/n)
(π -> pi)

Le truc chiant maintenant c'est d'en déduire que :
produit (de k=0) (jusqu'à n-1) (de sin (a + kπ/n)) = (sin na) / 2^(n-1)

Dionc j'aimerais bien avoir une piste, merci =)

Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques

Publié : dim. 20 sept. 2009 15:48
par Jean-Bob
Tu peux essayer de considérer le polynôme (X + 1)^n - e^(2ina) en l'écrivant sous une forme factorisée. Pour cela, tu dois te servir des racines du polynôme que tu as trouvées précédemment. Essaye ensuite de voir du côté du produit de ces racines.
C'est peut-être un peu flou ce que je dis mais en cherchant de ce côté tu devrais trouver.

Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques

Publié : dim. 20 sept. 2009 15:51
par Lindor
tu veux résoudre (z+1)^n = e(2ina)
Je fais aussi la partie avant, celle que tu as résolue, ça me clarifiera les idées =)
cela revient donc à résoudre ((z+1)/e2ia)^n = 1
Donc en gros ((z+1)/e2ia) est une racine nième de 1 donc il existe un k entier entre 0 et n-1 tel que (z+1)/e2ia = e(2ik(Pi)/n).
Je trouve donc comme solution z = e(2i(k(Pi)/n +a)) - 1
Ensuite, on trouve rapidemment (flemme de détailler la règle utilisée) z = 2i.sin(a+k(Pi)/n).e(i.(a+k(Pi)/n))

Ok, je trouve donc la même chose que toi pour le début.
Ensuite, après petite reflexion, voilà un truc à utiliser :
Si on note Zk les n solutions de ton equation (de Z0 à Z(n-1) donc), tu sais que par définition, ces Zk sont les zéros du polynôme :
(X+1)^n -e(2ina)

Tu peux t'arrêter là dans la lecture si tu veux, et essayer de trouver à partir de ça. Si tu veux quelques indices en plus, je mets la suite en spoiler.

Tu sais donc que tu peux écrire ce polynôme sous la forme : (je note P(k=0,n-1) le produit de k=0 à n-1)
(X+1)^n -e(2ina) = P(k=0,n-1) (X-Zk)^mk, en notant mk l'ordre de multiplicité de la racine Zk.
Par ailleurs, ton polynôme est de degré n (on le voit de manière évidente dans l'expression de gauche), et tout tes mk sont strictement positifs (les mk ne sont jamais nuls car les Zk considérés sont tous des racines). De plus, le degré de ton polynôme est aussi la somme des mk (on le voit dans l'expression de droite), il y a n mk (de 0 à n-1) donc tous tes mk vallent 1.
Tu as donc :
(X+1)^n -e(2ina) = P(k=0,n-1) (X-Zk)


ça, c'était l'indice numéro 2. Si tu es encore bloqué, tu peux regarder l'indice numéro 3, qui normalement devrait te débloquer complètement :

Maintenant, tu prends ton polynôme en 0 (X=0) (tu remplaces dans les expressions à droite et a gauche de ton égalité), tu remplaces les Zk par l'expression trouvée à la question précédente, et tu fais apparaître dans l'expression le produit que tu es sensé calculer (le produit des sin(a+k(Pi)/n) ). Ensuite, tu isoles ce produit et tu fais les calculs qu'il faut pour arriver au résultat.


Et si après ça tu n'arrives pas au bon résultat et que tu ne sais pas où est-ce que tu as pu faire une erreur, demande-le et je te posterai le détail des calculs.





EDIT : Grillé par Jean-Bob =) Enfin bon, mes indices sont plus détaillés =)

Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques

Publié : dim. 20 sept. 2009 16:18
par Jean-Bob
Décidément Lindor, tu ne recules devant rien pour me ridiculiser Ü

Re: [QUESTIONS ET AIDE] Mathématiques

Publié : dim. 20 sept. 2009 16:24
par FreshGod
j'aimerais finir ça:
E K-ev de dimension finie n, f et g deux endomorphismes de E

rg(f+g) = rg(f) + rg(g) <=> Im(f) + Im(g) = {OE} et Ker(f) + Ker(g)=E


j'ai juste réussi a faire dans ce sens <=