Mathématiques : Invention ou Réalité ?

[hexbinmos]

je le vois mal se courber dans l'une des trois dimensions usuelles...

Tu le vois se courber dans la 4°D ?
Perso je le vois plus se courber en 3D qu'en 4D, mais bon ^^

[Lindor]

Hum, c'est un tout petit peu plus compliqué que ça.
Pour ne pas diviser les cas, prenom le cas "probable" (du moins, supposé probable actuellement) du dodéacaèdre de pointcarré. Prend la surface d'une hypersphère, ça correspond tout à fait : Un espace tridimentionnel dont les "bords se touchent', à courbure positive, sans centre. Et la surface de l'hypersphère, bien qu'étant tridimensionnelle, épouse la forme de l'hypersphère, elle même quadridimensionnelle.
ça, c'est le cas à courbure positive; mais ce serait pareil pour une courbure négative (espace hyperbolique), ou cylindrique/torrique (ces deux cas étant "sans courbure" au sens ou la géométrie euclidienne s'y applique (et le théorème de pythagore y est vrai)).
Le seul cas à part serait le plan infini. Et ce serait un hyperplan et non un plan, car tridimensionnel.

[hexbinmos]

Hum, c'est un tout petit peu plus compliqué que ça.
Pour ne pas diviser les cas, prenom le cas "probable" (du moins, supposé probable actuellement) du dodéacaèdre de pointcarré. Prend la surface d'une hypersphère, ça correspond tout à fait : Un espace tridimentionnel dont les "bords se touchent', à courbure positive, sans centre. Et la surface de l'hypersphère, bien qu'étant tridimensionnelle, épouse la forme de l'hypersphère, elle même quadridimensionnelle.
ça, c'est le cas à courbure positive; mais ce serait pareil pour une courbure négative (espace hyperbolique), ou cylindrique/torrique (ces deux cas étant "sans courbure" au sens ou la géométrie euclidienne s'y applique (et le théorème de pythagore y est vrai)).
Le seul cas à part serait le plan infini. Et ce serait un hyperplan et non un plan, car tridimensionnel.

Tu vois ça dans tes cours ? Si oui, t'as trop de chance ><

[Lindor]

Normalement non. J'ai lu quelques livres sur ce sujet passionnant, et j'ai aussi eu quelques discussions avec mon grand-père astronome.
De plus, le thème TIPE de l'année étant surfaces, bien que mon TIPE personnel n'ait rien a voir avec ce sujet (je traite des problèmes d'indécidabilités dans les pavages), je me suis renseigné sur le sujet.

Tiens, Hexbinmos, j'ai un fichier que je vais essayer de poster ici si je le retrouve, un truc abordable à n'importe quel niveau, présenté de manière très ludique (donc très "vulgarisé", mais précis malgré tout) qui aide à comprendre toutes les notions de courbure de l'espace (dans le sens global) et de géométrie euclidienne (du moins, il en donne une première approche extrèmement intuitive).

C'est pas de la haute mathématiques, mais je pense que ça te plaira.

EDIT : Retrouvé ! Ne te laisse pas rebuter au premier abord par l'aspect "gamin" (présenté sous forme d'une BD pour enfant), la lecture en est passionnante. C'est une toute première approche du sujet, extrèmement intuitive, mais ça a de quoi nourrir l'imagination :

http://mp09.free.fr/ADS%20-%20TIPE/Lant ... tricon.pdf

[Jean-Bob]

Précoce le Riemann, moi à 4 ans je savais pas encore compter au-delà de 59 :-° (cf note de la page 61 du pdf).

[hexbinmos]

Bien intéressant ce petit PDF .

[Radek]

Lindor: je viens de lire l'article de wikipedia suivant http://fr.wikipedia.org/wiki/Topologie_de_l%27Univers

Et si ca peut t'aider a y voir plus clair concernant ton histoire de 4e dimension, ca confirme un peu l'idee que je me faisais :

Ensuite le lecteur est invité à accepter l'usage des espaces à deux dimensions comme analogies pour l'espace réel à trois dimensions, parce que dans ce cas, l'intuition à trois dimensions déjà installée dans l'esprit du lecteur peut être utilisée comme un outil psychologique pour réfléchir sur les différentes possibilités d'espaces à deux dimensions. Il faut, pourtant, bien se rappeler que l'usage d'une dimension pour le développement de son intuition n'implique pas que cette troisième dimension ait un quelconque sens physique. Ce n'est qu'une astuce psychologique pour imaginer les espaces de courbure et de topologie diverses.

Et aussi plus loin,

Au début du XXIe siècle, nos observations à travers des télescopes montrent que la forme est environ plate

Et ils precisent aussi que c'est toujours une question ouverte, compte tenu de la difficulte de faire des mesures. On n'a pas facilement acces aux echelles suffisantes.

Ils parlent aussi de la forme compliquee dont tu as parle et que je ne connais pas, mais je n'ai jamais vu ca en cours donc bon je peux pas en parler trop, surtout que l'article semble tres peu complet et je sais pas sur quelles mesures se basent les physiciens qui avancent cette idee. J'ai aussi assiste a une conference de Smoot sur ses analyses de donnes de WMAP mais il n'a pas fait mention de cette topologie compliquee.
Sinon je n'ai pas acces a la revue Nature, c'est le genre de revues avec l'abonnement a plusieurs centaines de dollars... Et dont je ne comprendrai de toutes facons pas le meme quart a mon avis.

[Lindor]

Les hypothèses s'enchaîne. On peut passer de l'hypothèse de Friedmann d'un univers hypersphériques au dodécaèdre de pointcarré, en passant par un revêtement d'une surface de boyle complexe dont les singularités seraient les trous noirs...

Radek, j'ai déjà lu l'article wikipedia, il est très scientifique dans le sens ou il n'énonce rien qui ne dépasse nos connaissances actuelles... Mais c'est aussi ce qui fait sa grande pauvreté à mon sens. Je trouve bien plus passionnant de s'interresser aux hypothétiques surfaces qui pourraient traduire efficacement le comportement de l'univers et les analyser (ou du moins, lire l'analyse qui en fut faite par des mathématiciens autrement moins novices que moi ^^).

Il existe un nombre important de théories très interressantes; mais ce que disent les telescopes sur un espace "à peu près plat" n'a absolument aucune valeur.

[hexbinmos]

mais si on raisonne dans le sens du PDF, il y aurait une 0.5°dimension.

[Radek]

Lindor, je suis d'accord, mais si tu parles de fantaisies et pas de la realite a priori, precise-le. Surtout quand tu parles a des gens qui n'y connaissent peut-etre pas grand chose et qui risquent de melanger les pinceaux entre les theories et les faits experimentaux.

Passionnant ou pas, le but de la physique (de la cosmologie entre autres), c'est d'apprendre des choses sur l'univers, pas de faire des hypotheses mathematiques les plus farfelues possibles (meme si le procede d'apprendre des choses sur l'univers peut passer par la, mais ce n'est qu'une consequence secondaire, pas un but en soi). On cherche a faire des theories qui marchent, pas des theories qui sont cool (et heureusement, les theories qui marchent se revelent toujours cool).

Et sinon, ca fait plusieurs posts que notre discussions aurait plutot du se passer dans le topic sur la cosmologie.

[hexbinmos]

topic sur la cosmologie

Big bang/univers/temps ?

[Radek]

oui c'est celui auquel je pensais

[hexbinmos]

http://thefpsb.penspinning.fr/viewtopic ... 28#p148128
Continuons là dessus si tu veux

[Lindor]

Radek, c'est la divergence entre physique et maths =) Pour moi une théorie, qu'elle soit viable ou non, si elle est mathématiquement magnifique, je suis prêt à lui accorder toute mon attention.

Et les théories que j'ai énoncé, que ce soit l'hypersphère de Friedmann ou le dodécaèdre de pointcarré, sont parfaitement viables. Je trouve Wikipedia extrèmement incomplet sur le sujet, il ne faut pas en faire une référence.

[Radek]

Dans la mesure ou wikipedia concorde avec ce que j'ai appris, c'est peut-etre incomplet mais pas totalement a cote.

Et c'est tout a fait vrai pour la difference maths/physique.