Quant à thib, pour la première : même en omettant le fait que x doive forcément être un entier naturel, tu dérives une somme terme à terme, mais tu n'as le droit de le faire que pour une somme dont le nombre de termes est constant, ce qui n'est pas le cas ici. Le nombre de terme de la somme dépend de x donc la somme ne se dérive pas terme à terme.
Je regarde l'autre maintenant.
EDIT : Pour le second :
Tu considères un x satisfaisant x²+x+1=0, puis à l'avant dernière étape tu considères la racine réelle de x^3=1. Tu supposes donc à ce moment que ton x de départ pouvait être réel.
Tu tombes sur une absurdité (3=0), ce qui démontre par l'absurde que x²+x+1=0 n'a pas de racines réelles. Il n'y a pas de paradoxe ici.
hexbinmos :
La partie en rouge est fausse. L'égalité n'a jamais été démontrée pour des nombres négatifs.-1=(-1)^1=(-1)^(1/1)=(-1)^(2/2)=((-1)^2)^(1/2)=1^(1/2)=1
EDIT 2 : Trouvé la solution au paradoxe de jean bob. J'ai deux réponses qui me semblent acceptables, une technique et une plus evasive.